Introduction To Probability, Statistics, and Random Processes 교재를 공부하며 번역한 글입니다.
인프런 확률과 통계 기초강의를 수강하면서 참고했습니다.
1.2 Review of Set Theory
1.2.0 Review
확률 이론은 집합의 언어를 사용합니다. 나중에 살펴보겠지만 확률은 집합에 대해 정의되고 계산됩니다. 따라서 여기서는 이 책에서 사용되는 집합 이론의 몇 가지 기본 개념을 간략하게 검토하겠습니다. 집합 표기법, 정의, 연산(교집합과 합집합 등)에 대해 설명합니다. 그런 다음 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합을 소개합니다. 마지막으로 함수에 대해 간략하게 설명합니다. 이 섹션은 다소 이론적이어서 책의 나머지 부분보다 덜 흥미로워 보일 수 있지만, 앞으로 이어질 내용을 위한 토대를 마련합니다.
집합(set)은 일부 항목(요소)의 집합입니다. 집합을 나타낼 때 대문자를 사용하는 경우가 많습니다. 예를 들어 집합 A을 정의하려면 모든 요소를 중괄호 안에 나열하면 됩니다. 집합 A가 두 요소 ♣,♢로 이루어져있다면 A={♣,♢}라고 정의할 수 있습니다. ♢가 A에 속한다고 말하려면 ♢∈A 라고 쓰며, 여기서 "∈"는 "에 속한다(belongs to.)"로 발음합니다. 어떤 원소가 집합에 속하지 않는다고 말할 때는 ∉를 사용합니다. 예를 들어, ♡∉A처럼 사용하면 됩니다.
| A set is a collection of things (elements). |
순서는 중요하지 않으므로 두 집합 {♣,♢} 와 {♢,♣} 는 동일합니다. 우리는 종종 숫자 집합으로 작업합니다. 몇 가지 중요한 집합의 예는 다음과 같습니다.
Example 1.1
아래 집합들이 책에서 사용됩니다.
- The set of natural numbers, ℕ={1,2,3,⋯}.
- The set of integers, ℤ={⋯,−3,−2,−1,0,1,2,3,⋯}.
- The set of rational numbers ℚ.
- The set of real numbers ℝ.
- Closed intervals on the real line. For example, [2,3][2,3] is the set of all real numbers x such that 2≤x≤3.
- Open intervals on the real line. For example (−1,3)(−1,3) is the set of all real numbers x such that −1<x<3.
- Similarly, [1,2)[1,2) is the set of all real numbers x such that 1≤x<2.
- The set of complex numbers ℂ is the set of numbers in the form of a+bi, where a,b∈ℝ, and i=√-1.
집합의 요소들이 만족하는 속성을 수학적으로 명시하여 집합을 정의할 수도 있습니다. 특히 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
A={x|x satisfies some property}
or
A={x:x satisfies some property}
기호 "|" 와 ":" 기호는 "such that."으로 발음됩니다.
Example 1.2
다음은 요소가 만족하는 속성을 명시하여 정의한 집합의 몇 가지 예입니다:
- If the set C is defined as C={x|x∈ℤ,−2≤x<10}, then C={−2,−1,0,⋯,9}.
- If the set D is defined as D={x2|x∈ℕ}, then D={1,4,9,16,⋯}.
- The set of rational numbers can be defined as ℚ={ab|a,b∈ℤ,b≠0}.
- For real numbers a and b, where a<b, we can write (a,b]={x∈ℝ∣a<x≤b}.
- ℂ={a+bi∣a,b∈ℝ,i=√−1}.
집합 A의 모든 원소가 B의 원소이기도 하면 집합 A는 집합 B의 부분집합(subset)입니다. 여기서 "⊂"는 "subset"을 나타냅니다. 이와 동일하게 B는 A 의 superset 또는 B⊃A 라고 합니다.
Example 1.3
다음은 set 과 subset의 예시입니다.
- If E={1,4} and C={1,4,9}, then E⊂C.
- ℕ⊂ℤ.
- ℚ⊂ℝ
두 집합은 원소가 정확히 같으면 동일합니다. 따라서 A⊂B 및 B⊂A 인 경우에만 A=B 입니다. 예를 들어 {1,2,3}={3,2,1} , {a,a,b}={a,b} 입니다. 원소가 없는 집합, 즉 ∅={}는 널 집합(null set) 또는 공 집합(empty set)입니다. 모든 집합 A 에 대해 ∅⊂A 입니다. universal set은 우리가 공부하는 맥락에서 고려할 수 있는 모든 것의 집합입니다. 따라서 모든 집합 A는 universal set의 부분집합입니다. 이 책에서는 universal set을 S로 표시하는 경우가 많습니다(앞으로 살펴보겠지만, 확률 이론의 언어에서는 universal set을 표본 공간(sample space)이라고 부릅니다). 예를 들어, 주사위를 굴리는 것에 대해 논의하는 경우, universal set은 S={1,2,3,4,5,6}로 정의할 수 있고, 동전 던지기에 대해 논의하는 경우 universal set은 S={H,T}(앞면은 H, 뒷면은 T)가 될 수 있습니다.
1.2.1 Venn Diagrams
벤 다이어그램은 집합 간의 관계를 시각화하는 데 매우 유용합니다. 벤 다이어그램(Venn diagram)에서 모든 집합은 닫힌 영역으로 표시됩니다. 그림 1.2는 벤 다이어그램의 예시를 보여줍니다. 이 그림에서 큰 직사각형은 universal set S 를 나타냅니다. 음영 처리된 영역은 또 다른 집합 A 를 나타냅니다.
그림 1.3은 B⊂A 인 두 set A와 B 를 보여줍니다.
1.2.2 Set Operations
두 집합의 합집합(union)은 A에 있거나 B에 있는 모든 원소를 포함하는 집합입니다. 예를 들어 {1,2}∪{2,3}={1,2,3} 입니다. 따라서 (x∈A) 또는 (x∈B) 인 경우에만 x∈(A∪B)를 쓸 수 있습니다. A∪B=B∪A 에 유의하십시오. 그림 1.4에서 집합 A와 B의 합집합은 벤 다이어그램에서 음영 처리된 영역으로 표시됩니다.
마찬가지로 세 개 이상의 집합의 합집합을 정의할 수 있습니다. 특히 A1,A2,A3,⋯,An이 n개의 집합이라면 이들의 합집합 A1∪A2∪A3⋯∪An은 집합 중 하나 이상에 있는 모든 원소를 포함하는 집합이 됩니다. 이 합집합은 아래와 같이 더 간결하게 쓸 수 있습니다.
예를 들어 A1={a,b,c},A2={c,h},A3={a,d} 인 경우 ⋃iAi=A1∪A2∪A3={a,b,c,h,d} 입니다. 이와 유사하게 무한히 많은 집합 A1∪A2∪A3∪⋯ 의 합집합을 정의할 수 있습니다.
A∩B로 표시되는 두 집합 A와 B의 교집합(intersection)은 A와 B에 모두 있는 모든 요소로 구성됩니다. 예를 들어 {1,2}∩{2,3}={2} 입니다. 그림 1.5에서 집합 A와 B의 교집합은 벤 다이어그램을 사용하여 음영 처리된 영역으로 표시되어 있습니다.
보다 일반적으로 설명하자면 A1,A2,A3,⋯ 집합의 경우, 이들의 교집합 ⋂iAi는 모든 Ai에 있는 요소로 구성된 집합으로 정의됩니다. 그림 1.6은 세 집합의 교집합을 보여줍니다.
Ac 또는 A¯로 표시되는 집합 A의 보수(complement)는 universal set S에는 있지만 A에는 없는 모든 요소의 집합입니다. 그림 1.7에서 A¯는 벤 다이어그램을 사용하여 음영 처리된 영역으로 표시되어 있습니다.
차집합(subtraction)는 다음과 같이 정의됩니다. 집합 A-B는 A에는 있지만 B에는 없는 원소로 구성됩니다. 예를 들어 A={1,2,3}이고 B={3,5}인 경우 라면 A-B={1,2} 입니다. 그림 1.8에서 A-B는 벤 다이어그램을 사용하여 음영 처리된 영역으로 표시됩니다. A-B=A∩Bc 입니다.
두 집합 A와 B는 공유 요소가 없는 경우, 즉 이들의 교집합이 빈 집합인 A∩B=∅인 경우 상호 배타적(mutually exclusive)이거나 disjoint 라고 합니다. 보다 일반적으로, 여러 집합이 pairwise disjoint인 경우, 즉 두 집합이 공통 요소를 공유하지 않는 경우 disjoint set이라고 부릅니다. 그림 1.9는 세 개의 비접합 집합을 보여줍니다.
지구 표면이 sample space라면, 지구 표면을 여러 대륙으로 분할할 수 있습니다. 마찬가지로 한 국가를 여러 지방으로 분할할 수 있습니다. 일반적으로 비어 있지 않은 집합 A1,A2,⋯ 의 집합이 서로 분리되어 있고 이들의 합이 A 인 경우 집합 A 의 partition입니다. 그림 1.10에서 A1,A2,A3,A4 집합은 universal set S 의 partition을 형성합니다.
다음은 집합을 작업할 때 유용한 몇 가지 규칙입니다. 곧 사용 예시를 살펴보겠습니다.
Theorm 1.1: De Morgan's law
For any sets A1, A2, ⋯⋯, An, we have
Theorm 1.2: Distributive law
For any sets A, B, and C we have
- A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);
- A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
Example 1.4
If the universal set is given by S={1,2,3,4,5,6}, and A={1,2}, B={2,4,5},C={1,5,6} are three sets, find the following sets:
- A∪B
- A∩B
- A¯
- B¯
- Check De Morgan's law by finding (A∪B)c and Ac∩Bc.
- Check the distributive law by finding A∩(B∪C) and (A∩B)∪(A∩C).
두 집합 A와 B의 Cartesian product은 A×B 로 표기되며, A와 B의 정렬된 쌍을 포함하는 집합입니다. 즉, C=A×B 인 경우 C의 각 요소는 (x,y) 형식이며, 여기서 x∈A 및 y∈B :
A×B={(x,y)|x∈A 및 y∈B}입니다.
예를 들어, A={1,2,3}이고 B={H,T}이라면
A×B={(1,H),(1,T),(2,H),(2,T),(3,H),(3,T)}가 됩니다.
여기서 쌍은 순서대로 정렬되어 있으므로, 예를 들어 (1,H)≠(H,1) 입니다. 따라서 A×B는 B×A 와 같지 않습니다.
두 개의 유한집합 A와 B가 있고 A에 M개의 원소가 있고 B에 N개의 원소가 있는 경우, A×B는 M×N개의 원소를 갖습니다. 이 규칙을 multiplication principle라고 하며 집합의 원소 수를 계산할 때 매우 유용합니다. 집합의 원소 개수는 |A| 로 표시되므로 여기서는 |A|=M, |B|=N, |A×B|=MN 으로 표기합니다. 위의 예에서 |A|=3,|B|=2이므로 |A×B|=3×2=6 입니다. 마찬가지로 A1,A2,⋯,An 집합의 Cartesian product을
A1×A2×A3×⋯×An={(x1,x2,⋯,xn)|x1∈A1 및 x2∈A2 및 ⋯xn∈An}로 정의할 수 있습니다.
multiplication principle에 따르면 유한 집합 A1,A2,⋯,An 의 경우
|A1|=M1,|A2|=M2,⋯,|An|=Mn이라면
∣A1×A2×A3×⋯×An∣=M1×M2×M3×⋯×Mn이 됩니다.
Cartesian product을 사용하여 구한 집합의 중요한 예는 n이 자연수인 Rn입니다. n=2 인 경우,
따라서 R2는 2차원 평면의 모든 점으로 구성된 집합입니다. 마찬가지로 R3=R×R×R 등도 마찬가지입니다.
1.2.3 Cardinality: Countable and Uncountable Sets
여기서는 기본적으로 집합의 크기인 집합의 카디널리티에 대해 이야기할 필요가 있습니다. 집합의 카디널리티는 |A|로 표시됩니다. 먼저 유한 집합의 카디널리티에 대해 논의한 다음 무한 집합에 대해 이야기하겠습니다.
유한 집합(Finite Sets):
집합 A를 생각해 봅시다. A가 유한한 수의 원소만 가지고 있다면, 그 집합의 카디널리티는 단순히 A의 원소 수입니다. 예를 들어, A={2,4,6,8,10}이면 라면 |A|=5 입니다. 이 섹션의 주요 내용인 무한집합에 대해 논의하기 전에 매우 유용한 규칙인 inclusion-exclusion principle에 대해 이야기하고자 합니다. 두 개의 유한 집합 A와 B의 경우 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|가 있습니다. 이를 확인하기 위해 |A|와 |B|를 더하면 |A∩B|의 원소를 두 번 세는 것이므로 |A|+|B|에서 빼면 |A∪B|의 원소 수를 구할 수 있습니다(문제 2의 그림 1.16을 참조하면 이를 그림으로 볼 수 있습니다). 동일한 아이디어를 세 개 이상의 집합으로 확장할 수 있습니다.
Inclusion-exclusion principle:
|
일반적으로 n개의 유한 집합 A1,A2,A3,⋯,An 에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
Example 1.5
In a party,
- there are 10 people with white shirts and 88 people with red shirts;
- 4 people have black shoes and white shirts;
- 3 people have black shoes and red shirts;
- the total number of people with white or red shirts or black shoes is 21.
How many people have black shoes?
Infinite Sets:
A가 무한 집합이라면 어떨까요? 우리는 무한집합과 훨씬 "큰" 무한 집합을 구분해야 합니다. 한 유형을 countable 집합이라고 하고 다른 유형을 uncountable 집합이라고 합니다. ℕ 및 ℤ와 같은 집합은 countable 하지만 ℝ와 같은 "더 큰" 집합은 uncountable 하다고 합니다. 두 유형의 차이점은 countable 집합 A의 원소를 나열할 수 있다는 점입니다. 즉, A={a1,a2,⋯} 를 쓸 수 있지만 uncountable 집합의 원소를 나열할 수는 없습니다. 예를 들어 ℕ={1,2,3,⋯}라고 쓸 수 있습니다. , ℤ={0,1,-1,2,-2,3,-3,⋯} . 셀 수 있을 정도로 무한한 집합의 원소를 나열할 수 있다는 것은 그 집합을 자연수 ℕ 와 일대일 대응으로 넣을 수 있다는 것을 의미합니다. 반면에 ℝ 는 원소를 나열할 수 없으므로 셀 수 없는(uncountable) 집합입니다. 정확하게는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
| Definition 1.1 Set A is called countable if one of the following is true
|
다음은 집합이 countable 한지 여부를 결정하는 간단한 가이드라인입니다. 대부분의 경우 이 가이드라인으로 충분할 것입니다.
| - ℕ,ℤ,ℚ 및 그 subset들은 모두 countable. - [a,b],(a,b],[a,b), (a,b)와 같이 실수의 간격을 포함하는 모든 집합(a<b)은 uncountable. |
이 책의 목적으로는 위의 규칙으로 충분하지만, 논증을 좀 더 구체화하기 위해 집합이 셀 수 있는지 여부를 증명하는 데 도움이 되는 몇 가지 유용한 정리들을 제공합니다. 증명에 관심이 없다면 건너뛰셔도 됩니다.
Theorem 1.4
A1,A2,⋯이 countable sets의 목록이라면, ⋃iAi=A1∪A2∪A3⋯ 집합도 countable 합니다.
Proof
⋃iAi 의 원소 목록을 만드는 것으로 충분합니다. 각 Ai는 셀 수 있으므로 그 원소를 나열할 수 있습니다: Ai={ai1,ai2,⋯} . 따라서 A1={a11,a12,⋯} A2={a21,a22,⋯} , A3={a31,a32,⋯} , ... 이제 위의 모든 목록을 포함하는 목록을 만들어야 합니다. 이 작업은 다양한 방법으로 수행할 수 있습니다. 한 가지 방법은 그림 1.12에 표시된 순서를 사용하여 목록을 만드는 것입니다. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리는 ⋃iAi 의 모든 요소를 포함하는 목록을 만들 수 있었으므로 이 집합은 countable 합니다.
Theorem 1.5
A와 B가 countable 하다면 A×B도 countable 합니다.
Proof
이 정리의 증명은 이전 정리와 매우 유사합니다. A와 B는 셀 수 있으므로 A={a1,a2,a3,⋯}, B={b1,b2,b3,⋯}라고 쓸 수 있습니다. 이제 A×B={(ai,bj)|i,j=1,2,3,⋯}의 모든 요소를 포함하는 목록을 생성합니다. 아이디어는 이전과 완전히 동일합니다. 그림 1.13은 한 가지 가능한 순서를 보여줍니다.
위의 내용은 인덱스 i와 j가 일부 countable set에 속하는
의 형태로 모든 집합 C에 대해 반복될 수 있습니다. 따라서 이 형식의 모든 집합은 countable합니다. 예를 들어, 유리수 ℚ의 집합은 countable하다는 결과가 나옵니다. 이는
라고 쓸 수 있기 때문입니다. 위의 정리를 통해 ℕ, ℤ, ℚ와 같은 집합과 그 부분집합이 countable하다는 것을 확인할 수 있습니다. 그러나 앞서 언급했듯이 ℝ의 구간은 셀 수 없습니다. 따라서 예를 들어 [0,1]의 모든 요소를 포함하는 {a1,a2,a3,⋯} 형식의 목록을 제공할 수는 없습니다. 이 사실은 소위 diagonal argument을 사용하여 증명할 수 있지만, 이 책의 나머지 부분에서는 중요하지 않으므로 여기서는 증명을 생략합니다.
1.2.4 Functions
우리는 종종 확률을 다룰 때 함수의 개념이 필요합니다. 함수 f는 domain이라고 하는 특정 집합에서 입력을 받아 co-domain이라고 하는 다른 집합에서 출력을 생성하는 규칙입니다. 따라서 함수는 domain 집합의 요소를 co-domain의 요소에 매핑하며, 각 입력이 정확히 하나의 출력에 매핑된다는 속성을 갖습니다. 함수 f의 경우 x가 도메인의 요소인 경우 함수 값(함수의 출력)은 f(x)로 표시됩니다. A가 도메인이고 B가 함수 f의 co-domain인 경우 다음과 같은 표기법을 사용합니다: f:A→B.
Example 1.6
- Consider the function f:ℝ→ℝ, defined as f(x)=x^2. This function takes any real number x and outputs x^2. For example, f(2)=4.
- Consider the function g:{H,T}→{0,1}, defined as g(H)=0 and g(T)=1. This function can only take two possible inputs H or T, where H is mapped to 0 and T is mapped to 1.
함수 f:A→B의 출력은 항상 co-domain B에 속합니다. 그러나 co-domain의 모든 값이 항상 함수에 포함되는 것은 아닙니다. 위의 예제 f:ℝ→ℝ 에서 함수 값은 항상 양수 f(x)=x^2≥0 입니다. 함수의 range를 f(x)의 가능한 모든 값을 포함하는 집합으로 정의합니다. 따라서 함수의 range는 항상 그 함수의 co-domain의 부분 집합입니다. 위의 함수 f(x)=x^2 의 경우 f의 range는 다음과 같습니다.
Range(f)=ℝ+ = {x∈ℝ|x≥0}
그림 1.14는 함수와 그 domain, co-domain, range를 그림으로 보여줍니다. 그림은 domain의 요소 x가 범위의 f(x)에 매핑되어 있음을 보여줍니다.
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