[Introduction To Probability, Statistics, and Random Processes] 1.1 Introduction

Introduction To Probability, Statistics, and Random Processes 교재를 공부하며 번역한 글입니다.

인프런 확률과 통계 기초강의를 수강하면서 참고했습니다. 

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1.0 Introduction

이 장에서는 몇 가지 기본 개념과 정의를 제공합니다. 먼저 확률이 무엇인지에 대해 간략하게 설명합니다. 그런 다음 확률 이론을 발전시키는 데 필요한 몇 가지 수학적 기초를 검토합니다. 다음으로 무작위 실험의 개념과 확률의 공리에 대해 논의합니다. 그런 다음 이산 및 연속 확률 모델을 소개합니다. 마지막으로 조건부 확률에 대해 논의합니다.

1.1 Introduction

1.1.0 What Is Probability?

무작위성과 불확실성은 일상 생활은 물론 과학, 공학, 기술의 모든 분야에 존재합니다. 이 책의 첫 번째 주제인 확률론은 우리 주변에서 일어나는 무작위 현상을 설명하고 분석할 수 있게 해주는 수학적 틀입니다. 무작위 현상이란 결과를 확실하게 예측할 수 없는 사건이나 실험을 의미합니다.

직관력을 키우기 위해 확률을 구체적으로 적용한 몇 가지 사례를 살펴봅시다. 먼저, 가장 간단한 무작위 실험 중 하나인 공정한 동전 던지기의 맥락에서 '무작위성'과 '확률'이라는 용어가 의미하는 바에 대해 좀 더 신중하게 생각해 보겠습니다.

'무작위성'에 대해 생각하는 한 가지 방법은 무작위성이 우리가 모르는 것을 표현하는 방법이라는 것입니다. 동전을 던지는 힘, 동전의 초기 방향, 손가락과 동전 사이의 충돌 지점, 공기 중의 난기류, 동전이 떨어진 테이블의 표면 평활도, 동전과 테이블의 재질 특성 등에 대해 더 많이 알고 있다면 동전이 앞면이 나올지 뒷면이 나올지 확실하게 말할 수 있을 것입니다. 그러나 이러한 모든 정보가 없다면 동전 던지기의 결과를 예측할 수 없습니다. 어떤 것이 무작위적이라는 말은 결과에 대한 우리의 지식이 제한되어 있기 때문에 어떤 일이 일어날지 확신할 수 없다는 뜻입니다.

동전이 공평하기 때문에 동전이 어떻게 던져졌는지에 대해 아무것도 모른다면 앞면이 나올 확률은 50%, 즉 1/2입니다. 이것이 정확히 무엇을 의미할까요? "확률"이라는 단어에 대한 두 가지 일반적인 해석이 있습니다. 하나는 상대적인 빈도(relative frequency) 측면에서입니다. 즉, 동전을 매우 많이 던지면 앞면이 나올 확률은 약 1/2이 나올 것입니다. 동전 던지기 횟수가 증가함에 따라 앞면이 나오는 비율은 점점 1/2에 가까워지는 경향이 있습니다. 사실 확률에 대한 이러한 직관적인 이해는 큰 수의 법칙(law of large numbers)의 특수한 경우이며, 이 책의 뒷부분에서 공식적으로 설명하고 증명할 것입니다.

 

확률에 대한 두 번째 해석은 확률이 어떤 일이 일어날 것이라는 주관적인 개인적 믿음(subjective personal belief)의 정도를 정량화한 것이라는 것입니다. 확률이 무엇을 의미하는지 이해하려면 날씨를 예측하는 두 번째 예를 생각해 보면 도움이 될 수 있습니다. 우리는 오늘 비가 올 가능성을 생각할 때 하늘에 구름이 있는지 여부와 습도 등을 고려합니다. 그러나 이러한 요소를 바탕으로 형성하는 믿음은 사람마다 다를 수 있으며, 사람마다 비가 올 확률을 다르게 추정할 수 있습니다. 예를 들어, 비가 올 확률에 대한 개인적인 믿음은 오늘과 같은 날의 상대적인 비의 빈도에 대한 평가에 근거할 수 있습니다.

확률 이론의 장점은 우리가 사용하는 확률의 해석(즉, 장기적인 빈도 또는 신념의 정도)에 관계없이 적용 가능하다는 것입니다. 확률 이론은 무작위 현상을 연구할 수 있는 견고한 틀을 제공합니다. 확률 이론은 axioms of probability(확률의 공리)를 가정하고 수학적 논증을 통해 전체 이론을 구축하는 것으로 시작됩니다.

확률 이론에 대해 자세히 알아보기 전에 확률 이론이 실제 시스템에서 어떻게 적용되었는지를 보여주는 예를 간략히 살펴보겠습니다.

 

1.1.1 Example: Communication Systems

통신 시스템은 우리 삶에서 중심적인 역할을 합니다. 우리는 매일 휴대전화를 사용하고, 인터넷에 접속하고, TV 리모컨을 사용하는 등의 작업을 수행합니다. 이러한 각 시스템은 한 장소에서 다른 장소로 정보를 전송하는 데 기반합니다. 예를 들어, 전화 통화를 할 때 우리가 말하는 내용은 일련의 0 또는 1의 시퀀스로 변환됩니다. 이러한 정보 비트는 그림 1.1에 표시된 것처럼 휴대폰 안테나를 통해 가까운 기지국으로 전송됩니다.

Fig.1.1 - Transmission of data from a cell phone to a cell tower.

통신 엔지니어가 고려해야 할 문제는 전송이 항상 노이즈의 영향을 받는다는 것입니다. 즉, 기지국에서 수신된 비트 중 일부가 올바르지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 휴대폰은 "010010⋯" 시퀀스를 전송했지만, 기지국에서는 "010110⋯" 시퀀스가 기지국에서 수신될 수 있습니다. 이 경우 네 번째 비트가 올바르지 않습니다. 이와 같은 오류는 휴대폰 대화의 오디오 품질에 영향을 미칠 수 있습니다.

전송의 노이즈는 무작위적인 현상입니다. 전송하기 전에는 어떤 비트가 영향을 받을지 알 수 없습니다. 마치 누군가가 각 비트에 대해 (편향된) 동전을 던져 해당 비트가 오류로 수신될지 여부를 결정하는 것과 같습니다. 확률 이론은 이러한 시스템에서 노이즈의 동작을 이해하고 오류를 수정하기 위한 조치를 취하기 위해 현대 통신 시스템 설계에 광범위하게 사용됩니다.

이 예는 확률의 한 가지 적용 예시를 보여줍니다. 거의 모든 분야를 선택하면 확률이 주요 도구로 사용되는 많은 응용 분야를 찾을 수 있습니다. 무작위성은 어디에나 존재하며, 확률 이론은 그 효과를 이해하고 관리할 수 있는 강력한 방법임이 입증되었습니다.